Alberto Durero

(Albrecht Dürer; Nuremberg, actual Alemania, 1471-id., 1528) Pintor y grabador alemán. Fue sin duda la figura más importante del Renacimiento en Europa septentrional, donde ejerció una enorme influencia como transmisor de las ideas y el estilo renacentistas, a través de sus grabados. Se formó en una escuela latina y recibió conocimientos sobre pintura y grabado a través de su padre, orfebre, y de Michael Wolgemut, el pintor más destacado de su ciudad natal.

Como era habitual en la época, al concluir sus estudios realizó un viaje, que lo llevó a diversas ciudades de Alemania y a Venecia (1494), ciudad a la que regresaría entre 1505 y 1507 y en la cual recibiría las influencias de Mantegna y Giovanni Bellini, además de asimilar los principios del humanismo. Previamente había contraído matrimonio y abierto un taller en su Nuremberg natal, donde se dedicó a la pintura (Retablo Paumgärtner) y sobre todo al grabado.

A esta época pertenecen las series de grabados El Apocalipsis, La Gran Pasión y la Vida de la Virgen, convencionales en cuanto a temática pero revolucionarios por lo que se refiere a su concepción y su complejidad técnica. Las figuras, plenas de expresividad, son esculturales y están definidas por una multitud de detalles. La minuciosidad es precisamente uno de los rasgos destacados del estilo de Durero, carácter que es probable que heredara del oficio paterno.

Después de su segunda estancia en Italia, pintó algunas obras de grandes dimensiones como El martirio de los diez mil, en las que incorporó la riqueza del colorismo veneciano en composiciones de gran dinamismo y repletas de figuras. También por entonces pintó las figuras de tamaño natural de Adán y Eva, pieza clave de su creación artística. Tal era su fama que fue nombrado pintor de corte del emperador Maximiliano I (1512); también Carlos I lo reclamó. De Maximiliano realizó retratos de carácter, animados por la riqueza y variedad de las texturas, que rivalizan en perfección con los Autorretratos, quizá lo más conocido de su obra pictórica. Alberto Durero gustó de retratarse a sí mismo desde la temprana edad de trece años y mantuvo siempre esta costumbre, reflejo del nuevo interés renacentista por el hombre, y en especial el artista.

Sin embargo, son los grabados las realizaciones en que dio una muestra más cabal de su genio; destacan los de 1513-1514, sobre temas imaginativos y que permiten varios niveles interpretativos: El caballero, la muerte y el diablo, San Jerónimo en su estudio y la triste Melancolía I, su obra cumbre como grabador, que constituye una compleja alegoría sobre las dificultades con que tropieza el artista en la realización de su obra creativa.

Durante los últimos años de su vida, Durero se centró en la ejecución de un retablo para su ciudad natal: Los cuatro apóstoles. Esta obra, de grandes dimensiones e intenso colorido, refleja el trabajo de toda una vida, en particular los numerosos estudios que había hecho sobre las proporciones y la monumentalidad de la figura humana. Se recuerdan también como obras de un maestro algunos de sus dibujos de plantas y animales, así como las acuarelas pintadas por puro placer a partir de paisajes que había contemplado durante sus viajes, y los dibujos de gentes y lugares de los Países Bajos, que constituyen un testimonio histórico inapreciable. Erasmo de Rotterdam le dedicó la mejor alabanza que un humanista podía hacer de un pintor, al definirlo como el «Apeles de las líneas negras».

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Paolo Ucello

Es un artista del Quattrocento florentino. Es un pintor muy preocupado por la perspectiva. Usa mucho la geometría en su pintura, tanto en las figuras, como en la perspectiva o en la composición (muchos hablan de antecedente del cubismo). También su obra manifiesta el interés del artista por la luz. El tema que prefiere son las batallas.

Posiblemente su obra más destacada es la Batalla de San Romano. En ell Utiliza el escorzo (perpendicular al cuadro) para dar sensación de profundidad. También usa el color para conseguir perspectiva. La sensación es que la perspectiva es más descriptiva que de disposición del espacio. Se aprecia su preocupación por el ya citado geometrismo. Las figuras son monumentales.

Otra pintura importante es la Historia de la profanación de la Sagrada Forma. Se trata de un cuadro de pequeño tamaño, donde empieza a haber una construcción espacial, si bien bastante teatral.

En el Retrato del hombre del turbante rojo, Paolo Ucello denota su interés por el dibujo y el relieve, con reparto de la luz para dar volumen.

Es el retrato tipo renacentista de busto, dibujo pulcro, importancia del color, de frente o perfil.

Otra importante obra el de Restos de El Diluvio.

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Leonardo DaVinci

Nació en 1452 en la villa toscana de Vinci.

Su enorme curiosidad se manifestó tempranamente, dibujando animales mitológicos de su propia invención, inspirados en una profunda observación del entorno natural en el que creció. Giorgio Vasari, su primer biógrafo, relata cómo el genio de Leonardo, siendo aún un niño, creó un escudo de Medusa con dragones que aterrorizó a su padre cuando se topó con él por sorpresa.

Consciente ya del talento de su hijo, su padre lo autorizó, cuando Leonardo cumplió los catorce años, a ingresar como aprendiz en el taller de Andrea del Verrocchio, en donde, a lo largo de los seis años que el gremio de pintores prescribía como instrucción antes de ser reconocido como artista libre, aprendió pintura, escultura, técnicas y mecánicas de la creación artística. El primer trabajo suyo del que se tiene certera noticia fue la construcción de la esfera de cobre proyectada por Brunelleschi para coronar la iglesia de Santa Maria dei Fiori. Junto al taller de Verrocchio, además, se encontraba el de Antonio Pollaiuollo, en donde Leonardo hizo sus primeros estudios de anatomía y, quizá, se inició también en el conocimiento del latín y el griego.

Juventud y descubrimientos técnicos

Era un joven agraciado y vigoroso que había heredado la fuerza física de la estirpe de su padre; es muy probable que fuera el modelo para la cabeza de San Miguel en el cuadro de Verrocchio Tobías y el ángel, de finos y bellos rasgos. Por lo demás, su gran imaginación creativa y la temprana maestría de su pincel, no tardaron en superar a las de su maestro: en el Bautismo de Cristo, por ejemplo, donde un dinámico e inspirado ángel pintado por Leonardo contrasta con la brusquedad del Bautista hecho por Verrocchio.

El joven discípulo utilizaba allí por vez primera una novedosa técnica recién llegada de los Países Bajos: la pintura al óleo, que permitía una mayor blandura en el trazo y una más profunda penetración en la tela. Además de los extraordinarios dibujos y de la participación virtuosa en otras obras de su maestro, sus grandes obras de este período son un San Jerónimo y el gran panel La adoración de los Magos (ambos inconclusos), notables por el innovador dinamismo otorgado por la maestría en los contrastes de rasgos, en la composición geométrica de la escena y en el extraordinario manejo de la técnica del claroscuro.

Florencia era entonces una de las ciudades más ricas de Europa; sus talleres de manufacturas de sedas y brocados de oriente y de lanas de occidente, y sus numerosas tejedurías la convertían en el gran centro comercial de la península itálica; allí los Médicis habían establecido una corte cuyo esplendor debía no poco a los artistas con que contaba. Pero cuando el joven Leonardo comprobó que no conseguía de Lorenzo el Magnífico más que alabanzas a sus virtudes de buen cortesano, a sus treinta años decidió buscar un horizonte más prospero.

Primer período milanés

En 1482 se presentó ante el poderoso Ludovico Sforza, el hombre fuerte de Milán por entonces, en cuya corte se quedaría diecisiete años como «pictor et ingenierius ducalis». Aunque su ocupación principal era la de ingeniero militar, sus proyectos (casi todos irrealizados) abarcaron la hidráulica, la mecánica (con innovadores sistemas de palancas para multiplicar la fuerza humana), la arquitectura, además de la pintura y la escultura. Fue su período de pleno desarrollo; siguiendo las bases matemáticas fijadas por León Bautista Alberti y Piero della Francesca, Leonardo comenzó sus apuntes para la formulación de una ciencia de la pintura, al tiempo que se ejercitaba en la ejecución y fabricación de laúdes.

Estimulado por la dramática peste que asoló Milán y cuya causa veía Leonardo en el hacinamiento y suciedad de la ciudad, proyectó espaciosas villas, hizo planos para canalizaciones de ríos e ingeniosos sistemas de defensa ante la artillería enemiga. Habiendo recibido de Ludovico el encargo de crear una monumental estatua ecuestre en honor de Francesco, el fundador de la dinastía Sforza, Leonardo trabajó durante dieciséis años en el proyecto del «gran caballo», que no se concretaría más que en una maqueta, destruida poco después durante una batalla.

Resultó sobre todo fecunda su amistad con el matemático Luca Pacioli, fraile franciscano que en 1494 publicó su tratado de la Divina proportione, ilustrada por Leonardo. Ponderando la vista como el instrumento de conocimiento más certero con que cuenta el ser humano, Leonardo sostuvo que a través de una atenta observación debían reconocerse los objetos en su forma y estructura para describirlos en la pintura de la manera más exacta. De este modo el dibujo se convertía en el instrumento fundamental de su método didáctico, al punto que podía decirse que en sus apuntes el texto estaba para explicar el dibujo, y no éste para ilustrar a aquél, por lo que Da Vinci ha sido reconocido como el creador de la moderna ilustración científica.

El ideal del saper vedere guió todos sus estudios, que en la década de 1490 comenzaron a perfilarse como una serie de tratados (inconclusos, que fueron recopilados luego en el Codex Atlanticus, así llamado por su gran tamaño). Incluye trabajos sobre pintura, arquitectura, mecánica, anatomía, geografía, botánica, hidráulica, aerodinámica, fundiendo arte y ciencia en una cosmología individual que da, además, una vía de salida para un debate estético que se encontraba anclado en un más bien estéril neoplatonismo.

Aunque Leonardo no parece que se preocupara demasiado por formar su propia escuela, en su taller milanés se creó poco a poco un grupo de fieles aprendices y alumnos: Giovanni Boltraffio, Ambrogio de Predis, Andrea Solari, su inseparable Salai, entre otros; los estudiosos no se han puesto de acuerdo aún acerca de la exacta atribución de algunas obras de este período, tales como la Madona Litta o el retrato de Lucrezia Crivelli. Contratado en 1483 por la hermandad de la Inmaculada Concepción para realizar una pintura para la iglesia de San Francisco, Leonardo emprendió la realización de lo que sería la celebérrima Virgen de las Rocas, cuyo resultado final, en dos versiones, no estaría listo a los ocho meses que marcaba el contrato, sino veinte años más tarde. La estructura triangular de la composición, la gracia de las figuras, el brillante uso del famoso sfumato para realzar el sentido visionario de la escena, convierten a ambas obras en una nueva revolución estética para sus contemporáneos.

A este mismo período pertenecen el retrato de Ginevra de Benci (1475-1478), con su innovadora relación de proximidad y distancia y la belleza expresiva de La belle Ferronière. Pero hacia 1498 Leonardo finalizaba una pintura mural, en principio un encargo modesto para el refectorio del convento dominico de Santa Maria dalle Grazie, que se convertiría en su definitiva consagración pictórica: La última cena. Necesitamos hoy un esfuerzo para comprender su esplendor original, ya que se deterioró rápidamente y fue mal restaurada muchas veces. La genial captación plástica del dramático momento en que Cristo dice a los apóstoles «uno de vosotros me traicionará» otorga a la escena una unidad psicológica y una dinámica aprehensión del momento fugaz de sorpresa de los comensales (del que sólo Judas queda excluido). El mural se convirtió no sólo en un celebrado icono cristiano, sino también en un objeto de peregrinación para artistas de todo el continente.

Ultimos años: Roma y Francia

El nuevo hombre fuerte de Milán era entonces Gian Giacomo Tivulzio, quien pretendía retomar para sí el monumental proyecto del «gran caballo», convirtiéndolo en una estatua funeraria para su propia tumba en la capilla de San Nazaro Magiore; pero tampoco esta vez el monumento ecuestre pasó de los bocetos, lo que supuso para Leonardo su segunda frustración como escultor. En 1513 una nueva situación de inestabilidad política lo empujó a abandonar Milán; junto a Melzi y Salai marchó a Roma, donde se albergó en el belvedere de Giulano de Médicis, hermano del nuevo papa León X.

En el Vaticano vivió una etapa de tranquilidad, con un sueldo digno y sin grandes obligaciones: dibujó mapas, estudió antiguos monumentos romanos, proyectó una gran residencia para los Médicis en Florencia y, además, trabó una estrecha amistad con el gran arquitecto Bramante, hasta la muerte de éste en 1514. Pero en 1516, muerto su protector Giulano de Médicis, Leonardo dejó Italia definitivamente, para pasar los tres últimos años de su vida en el palacio de Cloux como «primer pintor, arquitecto y mecánico del rey».

El gran respeto que Francisco I le dispensó hizo que Leonardo pasase esta última etapa de su vida más bien como un miembro de la nobleza que como un empleado de la casa real. Fatigado y concentrado en la redacción de sus últimas páginas para su tratado sobre la pintura, pintó poco aunque todavía ejecutó extraordinarios dibujos sobre temas bíblicos y apocalípticos. Alcanzó a completar el ambiguo San Juan Bautista, un andrógino duende que desborda gracia, sensualidad y misterio; de hecho, sus discípulos lo imitarían poco después convirtiéndolo en un pagano Baco, que hoy puede verse en el Louvre de París.

A partir de 1517 su salud, hasta entonces inquebrantable, comenzó a desmejorar. Su brazo derecho quedó paralizado; pero con su incansable mano izquierda Leonardo aún hizo bocetos de proyectos urbanísticos, de drenajes de ríos y hasta decorados para las fiestas palaciegas. Su casa de Amboise se convirtió en una especie de museo, plena de papeles y apuntes conteniendo las ideas de este hombre excepcional, muchas de las cuales deberían esperar siglos para demostrar su factibilidad e incluso su necesidad; llegó incluso, en esta época, a concebir la idea de hacer casas prefabricadas. Sólo por las tres telas que eligió para que lo acompañasen en su última etapa, la Gioconda, el San Juan y Santa Ana, la Virgen y el Niño, puede decirse que Leonardo poseía entonces uno de los grandes tesoros de su tiempo.

El 2 de mayo de 1519 murió en Cloux; su testamento legaba a Melzi todos sus libros, manuscritos y dibujos, que éste se encargó de retornar a Italia. Como suele suceder con los grandes genios, se han tejido en torno a su muerte algunas leyendas; una de ellas, inspirada por Vasari, pretende que Leonardo, arrepentido de no haber llevado una existencia regido por las leyes de la Iglesia, se confesó largamente y, con sus últimas fuerzas, se incorporó del lecho mortuorio para recibir antes de expirar, los sacramentos.

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Procesos cognitivos

Conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas, por las cuales se elabora la información precedente de las fuentes internas y externas de estimulación.

La cognición corresponde a la etimología latina de los términos conocimiento y conocer. Se entiende por cognición: conjunto de procesos mentales que tienen lugar entre la recepción de estímulos y la respuesta a estos.

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Procesos sinécticos

Synectica proviene de la compleja noción Griega synectikos que se traduce como, coincidir en la misma dirección o propósito, sun refiere a juntos sun ectos atraer cosas diferentes en una única conexión (sinapsis) (síntesis).

sinapsis (del gr. σύναψις, “enlace”) es el proceso de comunicación entre neuronas. En términos de las ciencias cognitivas, por parte de la neurociencia se comienza a visualizar el conexionismo, de redes neuronales y la importancia de las sinapsis.

síntesis (Del lat. synthĕsis, y este del gr. σύνθεσις). Composición de un todo por la reunión de sus partes. Síntesis es producto del análisis, procede de lo simple a lo compuesto, de los elementos al todo, de la causa a los efectos, del principio a las consecuencias.

Sintaxis (Del lat. syntaxis, y este del gr. σύνταξις, de συντάσσειν, orden, ordenar, coordinar).

La sinéctica es una disciplina que desarrolla métodos o conjuntos de estrategias cuyo propósito es desarrollar la creatividad y la productividad.

La creatividad transforma, coordina y reestructura, cada acción o pensamiento propositivo, innovador (creativo) se convierte en un objeto mental: idea o concepto generados en eventos sinécticos.

El comportamiento creativo se inicia en el proceso en el cual tomamos consciencia de problemas, cuando ubicamos las deficiencias o huecos de conocimiento, los elementos ignorados, su composición su falta de armonía y cohesión.

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Procesos heurísticos

La heurística trata de métodos exploratorios durante la resolución de problemas en los cuales las soluciones se descubren por la evaluación del progreso logrado en la búsqueda de un resultado final.

Se suele usar como adjetivo, caracterizando las técnicas por las cuales se mejora en promedio el resultado de una tarea de solución de problemas.

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Construcción-revolución

Eje de simetría

Eje de simetría plano es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes o más, cuyos puntos simétricos son equidistantes entre sí.

El eje de simetría es la mediatriz del segmento cuyos extremos son puntos simétricos. Matemáticamente un eje de simetría de un conjunto geométrico es siempre una línea de puntos fijos invariante bajo un conjunto de operaciones del grupo de simetría del conjunto.

Revolución

Se llaman formas de revolución, a aquellas que pueden ser generadas al hacer girar un perfil sobre un eje. Un perfil puede ser desde la entidad geométrica más sencilla, el punto, hasta cualquier tipo de forma libre formada por líneas o curvas.


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Booleanas

Círculo

La Circunferencia: La circunferencia es un contorno continuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. La distancia constante de cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

La circunferencia representa el área que contiene en su interior, denominada círculo, la forma más enigmática de todas, considerada perfecta por nuestros antepasados. Su direccionalidad es la curva, asociada al movimiento, al encuadramiento, a la repetición y al calor.

Contornos derivados de la circunferencia son el óvalo y el ovoide, con cualidades parecidas a las de ésta, pero que expresan aún más inestabilidad y dinamismo, aunque el movimiento perfecto sea una cualidad propia de la circunferencia.

Triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados y tres vértices. Los triángulos son los únicos polígonos que no tienen diagonales. Se clasifican:
· Según los lados:
1. Escaleno. Tres lados desiguales
2. Isósceles. Dos lados iguales
3. Equiláteros. Tres lados iguales
· Según los Ángulos:
1. Acutángulo. Tres ángulos agudos
2. Rectángulo. Un ángulo recto
3. Obtusángulo. Un ángulo obtuso

En un triángulo rectángulo:
· Los dos lados perpendiculares se llaman catetos
· El tercer lado, el más largo, se llama hipotenusa

Cuadrado

El cuadrado es la figura geométrica formada por cuatro líneas rectas de igual longitud, denominadas lados, que forman ángulos perfectamente rectos en los puntos de unión entre ellas (esquinas a 90º).

El cuadrado es una figura muy estable y de carácter permanente, asociada a conceptos como estabilidad, permanencia, honestidad, rectitud, limpieza, esmero y equilibrio.

La figura derivada del cuadrado por modificación de sus lados es el rectángulo, de propiedades análogas al cuadrado, aunque sugiere menos perfección y estabilidad.

El cuadrado expresa direccionalidad horizontal y vertical, referencia primaria con respecto al equilibrio y el bienestar. Es menos sugerente y más neutro que los rectángulos, pero más sólido. Invita a mirar su centro y pasear la mirada en espiral en torno a ese punto.

Booleana

En informática y matemática, es una estructura algebraica que rigoriza las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

Operaciones Booleanas en Modelado de sólidos

Hay una técnica que permite obtener volúmenes complejos a partir de la suma o resta de otros volúmenes más sencillos denominados “primitivas”; este tipo de operaciones con sólidos se conocen como “Operaciones booleanas”.

Primitivas

Los diferentes programas de modelado (edición 3D) que se usan para crear los escenarios y personajes de animación, incorporan entre sus herramientas la posibilidad de crear objetos a partir de superficies y sólidos elementales.

Algunos elementos geométricos son la base del modelo que se expone: esfera, plano, cilindro, cono…

Estos elementos básicos son los denominados “primitivas gráficas” y mediante operadores se agrupan para construir elementos mucho más complejos.

Las primitivas suelen definirse con dimensiones unitarias y en el origen de coordenadas.

Vemos la superficie de un objeto y no su interior; si utilizamos operaciones booleanas deberemos pensar en el volumen y diferenciar entre la superficie o “frontera” del objeto y el volumen que éste ocupa.

Por ejemplo, en un plano la frontera vendrá determinada por los bordes o aristas del polígono que lo representa ya que el plano no tiene volumen. Sin embargo, en una esfera, la frontera del objeto es su superficie, pasándose a llamar “contorno” la curva que la encierra cuando la representamos en una imagen.

Planos, superficies y volúmenes

La primitiva más sencilla es el triángulo. A partir de este elemento geométrico se generan superficies con diferentes grados de complejidad. Por ejemplo, con dos triángulos podemos formar un rectángulo plano, con varios que compartan un centro un polígono (que aproxime o simule una circunferencia), etc.




Si construimos una superficie formada por triángulos que comparten los vértices y la cerramos podemos considerar el volumen como lo que hay en “el interior” de la frontera que forma la superficie.

Una esfera puede aproximarse mediante una forma poliédrica, y mediante técnicas de renderizado (interpolaciones) obtener imágenes con formas suavizadas.

El modelo geométrico puede dar lugar a diferentes representaciones, modificando la percepción del objeto. En la segunda visualización, el poliedro adopta una apariencia de esfera gracias al modelo de visualización, sin embargo el contorno de la forma es el mismo. Este contorno poligonal degrada la percepción de la forma esférica. Para corregirlo es necesario aumentar el número de caras del poliedro.


La nueva aproximación a la superficie esférica mejora la visualización a costa de aumentar el volumen de superficies para incluir en los cálculos de la imagen. El volumen de la esfera también se aproxima mejor, permitiendo una edición más detallada del modelo.

Operaciones Booleanas

Objetos como la esfera, el cilindro, cono etc., pueden ser definidos de forma análoga, obteniéndose volúmenes básicos denominados como hemos dicho “primitivas gráficas”.

El volumen de estos objetos se puede caracterizar con una ley simple, por ejemplo:

Un punto del espacio es interior a un volumen si no existe ninguna recta que pase por el punto y no corte a la frontera (superficie). Si existe al menos una, es exterior.

Las operaciones booleanas se basan en los modelos que se estudian con el álgebra de Boole. Los conceptos de suma, resta, parte común etc. son los empleados en esta técnica de modelizado de sólidos.

Suma

Al sumar dos volúmenes, el volumen total es inferior a la suma de sus volúmenes, ya que hay una parte común entre los elementos.

Si sumamos por ejemplo una esfera y un cubo, el objeto resultante ocupará el espacio que ocupan los dos elementos; los puntos interiores a alguno de ellos serán por lo tanto puntos del objeto resultante de la suma.

Distinguiremos entre diferentes volúmenes o regiones del espacio en este ejemplo:

Exterior: Puntos que no son interiores a ningún objeto.

Interior: Puntos que son interiores a uno o a los dos objetos.

La nueva frontera del objeto suma, utiliza partes de las fronteras de los elementos primitivos.

Intersección

La intersección de dos objetos se conoce también como “parte común”. Está formada por los elementos que son interiores a los dos objetos que se usen en la operación.

De nuevo las fronteras son formadas por partes de las dos fronteras implicadas.

Diferencia

Las dos operaciones anteriores se realizan independientemente del orden en que se definan los elementos. Sin embargo la diferencia no tiene esta propiedad conmutativa. No es lo mismo quitarle el volumen A al cuerpo B, que quitarle B al A.

La operación booleana “B – A”, es decir, obtener la diferencia entre B y A, es equivalente a decir “quitarle a B la parte común entre B y A”.

Si al cubo le quitamos la esfera, obtenemos un volumen menor, pero mayor que la diferencia de volúmenes, ya que las partes de la esfera que no están en contacto con el cubo no pueden restarse.

La diferencia entre restar un elemento a otro, o invertir el orden de los objetos en la operación es notoriamente distinta.

Normalmente indicaremos el objeto que perdura y a continuación el que restamos, aunque puede depender de la implementación en cada programa.

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Envolventes de Arquímides

Arquímides

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.) Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.

De la biografía de Arquímedes, gran matemático e ingeniero, a quien Plutarco atribuyó una «inteligencia sobrehumana», sólo se conocen una serie de anécdotas. La más divulgada la relata Vitruvio y se refiere al método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Hierón II, tirano de Siracusa y protector de Arquímedes, quizás incluso pariente suyo. Hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella; esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano. Se cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».

La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática; corresponde al famoso principio que lleva su nombre y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude.

Según otra anécdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arquímedes aseguró al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.

Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que, según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.

Envolventes

Llamamos envolvente a una curva que es tangente en cada punto a una curva distinta de una familia de curvas o rectas de características comunes.
Cuando una familia de curvas se dibuja conjuntamente, su envolvente toma forma.

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